Gevraagd: Wiskundeknobbeltje

[Michel Uphoff]

Ik zit met een probleempje mbt het uitdijende heelal. Daarmee ga ik jullie niet direct lastig vallen, dus gebruik ik een aardse analogie:
 
Ik knip een fors stuk PTT elastiek door en rek de zo ontstane band uit tot precies een meter lang.
Ik zet een mier op het elastiek, en die mier loopt exact een meter per uur.
Zodra de mier begint te lopen, begin ik het elastiek verder uit te rekken, mooi gelijkmatig zodanig dat het na een uur twee meter lang is, na twee uur 3 meter lang enzovoort. (Het is érg goed elastiek dat vrijwel eindeloos gerekt kan worden). Met andere woorden per uur wordt het elastiek (voor, maar ook áchter de mier tesamen) een meter langer.
 
Waar op het inmiddels twee meter lange elastiek is de mier na een uur, en hoe lang duurt het voor de mier aan de andere kant is?
 
Kom er niet echt uit.
 
Iemand die een handige formule heeft waarbij je voor ieder gegeven moment de positie van de mier kan bepalen?
 

[Peter]

Waar op het inmiddels twee meter lange elastiek is de mier na een uur

In het midden lijkt me. De mier loopt tenslotte 1 meter per uur zeg je.

Doe wel handschoenen aan, als de elastiek knapt ben je nog niet jarig


groeten, Peter

[Ronald]

Hoi Michel,

Da's nog eens een moving target! <g>

Die mier komt dus nooit aan de andere kant, want zijn snelheid is precies gelijk aan de snelheid waarmee het elastiek langer wordt.

Groeten,

Ronald

[Michel Uphoff]

Hoi Peter, Ronald
 

In het midden lijkt me. De mier loopt tenslotte 1 meter per uur zeg je.

Die mier komt dus nooit aan de andere kant

Ja... maar...
 
De mier loopt idd een meter per uur, maar in dat uur is het elastiek achter de mier ook opgerekt, en de mier lift met die uitzetting mee.
 
Ik zou dus denken:
Je hebt te maken met de 'eigenbeweging' van de mier + de eveneens toegnemende lengte van het elastiek achter de mier.
Eerste stap van de mier = snelheid 1 meter per uur (alleen eigenbeweging mier)
Laatste stap van de mier (dus helemaal aan de overkant) = 1 meter per uur eigenbeweging + 1 meter per uur meeliftsnelheid (ten opzichte van het beginpunt).
De gemiddelde snelheid van de mier tov het beginpunt, (niet tov het elastiek) is dan dus hoger dan 1 meter per uur, en dus denk ik dat de mier verder is dan halverwege, en ik denk ook dat hij wel degelijk aan de overkant komt.
 
Ben d'r nog niet uit vrees ik.

[Ronald]

Hoi Michel,

Ik had niet goed gelezen: ik dacht dat het elastiek aan 1 kant langer werd. Als het aan beide kanten langer wordt, is het een ander verhaal. Dan kan hij de overkant wél halen, omdat de verlenging aan 1 kant 0,5 meter per uur is. Wat er achter de mier gebeurt, is verder niet relevant, toch?

Groeten,

Ronald

[Michel Uphoff]

Hoi Ronald,
 

Wat er achter de mier gebeurt, is verder niet relevant, toch?

Jawel, want dat is de afgelegde weg vanaf het beginpunt (zeg maar de linkerkant van het elastiek als de mier van links naar rechts loopt). En om die afstand gaat het nou juist.
 

ik dacht dat het elastiek aan 1 kant langer werd

Volgens mij maakt dat niets uit. Laten we er voor de duidelijkheid vanuit gaan dat het elastiek links aan de tafelrand vast zit en dat we het naar rechts oprekken. Ik wil dan de afstand van de mier na x tijd tov de tafelrand weten

[Don]

Na 1 uur zit die mier op de helft want het elastiek is inmiddels 2 meter lang en hij loopt 1 meter per uur.
Na 2 uur is het elastiek 3 meter lang en heeft de mier 2 meter gelopen. Hij zit nu dus op 2/3 van het elastiek oftewel 66,66%
Na 3 uur is het elastiek 4 meter lang en heeft de mier 3 meter gelopen. Hij zit nu op 75%
Dus we zien al een reeks 1/2, 2/3, 3,4 en dat gaat maar door: 4/5, 5/6 7/8. Je kan hier mee blijven doorgaan en in theorie zou de mier nooit het eindpunt halen. Toch klopt dat niet helemaal want op een gegeven moment kom je op een punt dat de mier met zijn neus over het einde van het elastiek kan kijken en uiteindelijk mietert hij er vanaf omdat hij topzwaar wordt.

[Michel Uphoff]

Hoi Don,
 

Na 1 uur zit die mier op de helft want het elastiek is inmiddels 2 meter lang en hij loopt 1 meter per uur.
Na 2 uur is het elastiek 3 meter lang en heeft de mier 2 meter gelopen. Hij zit nu dus op 2/3 van het elastiek oftewel 66,66%

Ik ben blij dat ik niet de enige ben die hier mee worstelt, en heb nu drie verschillende suggesties gekregen. Deze had ik ook bedacht, maar ook dit kan volgens mij niet kloppen:
 
1: Na een uur halverwege, dus nog een meter elastiek te gaan
2: Na twee uur op twee meter, lengte is nu drie meter, dus nog 1 meter te gaan
3: Na drie uur op drie meter, lengte is nu 4 meter dus nog 1 meter te gaan
..
..
100: Na 99 uur op 99 meter, lengte is nu 100 meter en nog steeds een meter te gaan
 
Dat is de essentie van jouw antwoord. Maarrrrrr.. laten we eens kijken wat er gebeurt met die ene meter te gaan als het elastiek 100 meter lang is. Een uur later is de totale lengte 101 meter, waarvan 99% rek achter de mier plaatsvindt, en maar 1% (oftewel 1 cm) rek vindt vóór de mier plaats. Zijn 'te gaan' weg is dan slechts 101 cm, en dus is de mier in een uur vrijwel bij de rand, in ieder geval véél dichterbij dan 1 meter. Bij de volgende stap is de mier dan ruim aan de overkant..
 
Ik begin er steeds meer voor te voelen dat de mier in een uur gewoon aan de overkant is.

[Peter]

Ik begin er steeds meer voor te voelen dat de mier in een uur gewoon aan   de overkant is.

Dat klinkt aannemelijk. In dit geval is de uitrekking van het elastiek gelijk aan de loopsnelheid van de mier. Voor en achter de mier rekt het elastiek op. De mier zal dus na 1 uur de andere kant bereiken, als ie zich niet omgedraaid heeft.


Peter

[Don]

>> en maar 1% (oftewel 1 cm)<<
Da kennie. 1% is op dat moment weer 1 meter en niet 1 cm. Tenslotte is 1% van 100 meter 1 meter. 

[Ronald]

Hoi Michel,

Je kunt dit m.i. alleen oplossen door een constant vertrekpunt te kiezen, en alles uit te drukken ten opzichte van dat punt.

Want wáár zet je die mier precies op het elastiek als dat nog 1 meter lang is? Helemaal aan het begin? Of halverwege?

Denk dááronder een denkbeeldige vaste positie. Stel, dat je de mier helemaal aan het begin hebt gezet.

Na een uur zit 'ie op 1 meter ten opzichte van dat denkbeeldige beginpunt (dat zich niet OP het elastiek bevindt, maar eronder). Als je vervolgens kijkt naar het stuk elastiek dat dáár bovenhangt, dan zit je op 75% van het elastiek.

Nog een uur later zit je 2 meter vanaf het fictieve beginpunt. Ten opzichte van het stuk elastiek dat erboven bungelt, zit je op 100%. Zie plaatje:



Q.E.D.?

Groeten,

Ronald

[Michel Uphoff]

Hoi Don,
 

Tenslotte is 1% van 100 meter 1 meter

Natuurlijk. Maar het hele elastiek neemt met 1 meter lengte toe. Als de mier al op 99 meter afstand van het begin is, worden de 99 meter achter hem met 99 cm opgerekt, en die ene meter voor hem met 1 cm. Die meter voor hem kan dus nooit twee meter worden, en dat zou nodig zijn om ook bij meterstand 101 nog steeds een meter afstand tot het eindpunt te hebben.

[Michel Uphoff]

Hoi Ronald,
 

Q.E.D.

Quite Easily Done, of Quod Erat Demonstrandum, that's the question...
 
>> Je kunt dit m.i. alleen oplossen door een constant vertrekpunt te kiezen, en alles uit te drukken ten opzichte van dat punt. <<
 
Mee eens. De tafelrand waaraan dat elastiek links vast zit en naar rechts wordt uitgerekt. Dat is het vaste punt.

>> Want wáár zet je die mier precies op het elastiek als dat nog 1 meter lang is? Helemaal aan het begin? <<
 
Exact.
 
Jouw tekening laat het elastiek aan beide zijden uitrekken, de bedoeling is dat het elastiek alleen naar rechts langer wordt, want links zit het aan de tafelrand waar het vaste referentiepunt is.
 
>> Na een uur zit 'ie op 1 meter ten opzichte van dat denkbeeldige beginpunt  <<
 
Dat kan tov de tafelrand niet waar zijn. De mier heeft na 1 uur 1 meter gewandeld over het elastiek, maar tegelijkertijd is hij door het oprekken ook meegevoerd naar rechts ten opzichte van de tafelrand. In het begin bijna onmerkbaar weinig maar naarmate de mier vordert steeds sneller, omdat een groter wordend deel van het elastiek achter hem ligt, en het oprekken van de weg achter hem steeds meer invloed gaat krijgen. Dus t.o.v. de tafelrand heeft de mier zeker een hogere snelheid dan 1 meter per uur, ergo hij is verder dan 1 meter van de tafelrand na een uur, en dus verder dan halverwege het elastiek dat twee meter lang is na een uur.
 
Wat een pokkeprobleempje.. waarom kom ik daar nou niet echt uit? En ik vermoed dat het eenvoudig met integraalrekenen opgelost kan worden, maar dat is bij mij inmiddels zo dood als een pier.
 
Ga eens kijken of excel mij kan helpen.. en als bij een van jullie het lampje definitief gaat branden hoor ik het graag!

[Peter]

Ga eens kijken of excel mij kan helpen.. en als bij een van jullie het   lampje definitief gaat branden hoor ik het graag!

De vraag kun je ook andersom stellen, bijv.:
Een mier begint aan 1 kant van een elastiek met 1m/s te lopen. De elastiek is 100meter lang. Elk uur wordt de elastiek 1 meter korter. Wanneer bereikt de mier het eindpunt?

Heeft het nog invloed aan welke kant de mier begint?

(Al met al, een intrigerende vraag.)

groeten Peter

[Leon]

Hoe moeilijk kun je het maken.

Als het miertje in het midden van het elastiekje begint te lopen is het altijd na een uurtje op het randje.
Zelfs nog een tikkeltje eerder.

Het miertje verplaatst zich met 1 m/uur in één richting.
Het elastiekje rekt zich aan beide kanten uit met 0,5 m/uur.
In totaal is dit 1 m/uur.

Het miertje krijgt ook nog een beetje versnelling mee van het uitrekkende elastiekje.
En nee dat heft elkaar niet op omdat het miertje door de verplaatsing niet meer in het centrum zit.