Gevraagd: Wiskundeknobbeltje

[FOX Creation]

Heren,
een leuke discussie en ik ga hem zeker aan een van mijn hoogleraren voorleggen,
maar mijn eerste intuïtie zegt dat hij het eindpunt nooit zal gaan halen,
waarom niet?

Mijn gedachten is dat de mier iedere keer tot 3/4 van zijn nog te lopen weg aflegt.

Hij loopt de eerste meter, maar de weg voor hem wordt een 1/2 m langer en hij verplaatst dus in horizontale beweging achteruit. Als je het tekent, is het wel duidelijker.
Hij start links
  x---------
Na een uur is de mier zonder beweging ( 1 streepje is 0,1m)
  ---------x
Echter is zowel de afstand voor de mier als achter de mier opgerekt, dit is geleidelijk gegaan, dus we plakken 0,5 m achter de positie en 0,5 voor de mier
 -------------x-----
 In totaal is de lengte nu 2 m, waarbij de mier zich op 1,5m bevindt.
Als je dat doorvoert blijft het zo.
Hij moet nog 0,5 m te lopen,
Dus in principe zou hij er voorbij moeten zijn, maar, het elastiek rekt ook op met 0,5m voor hem,
dus theoretisch op deze methode zou hij in 2 uur bij het eindpunt zijn..

Wat in strijd is met mijn eigen gedachten, haha
Ik ga het nog eens bij mijn kennissen in de groep gooien!
Echter denk ik dat een integraal niets uitmaakt, je hebt namelijk geen oppervlakte waar je over kunt integreren..
Tenzij je de breedte van de mier mee gaat nemen en ervan uitgaat dat hij telkens van links naar rechts (opvaren volgens de zeiltermen) naar voren voortbeweegt. Het gaat om een elastiek waarbij de breedte verwaarloosd kan worden. Ik denk eerder dat je met de tijd en beweging moet kijken

Daar was zo'n formule voor.
Maar ik denk dat je ook moet kijken naar het Doppler Effect.
http://nl.wikipedia.org/wiki/Dopplereffect
Een bewegend voertuig met een contrabeweging.

Ik houd jullie op de hoogte en ben benieuwd naar jullie commentaar op mijn gedachten

[Michel Uphoff]

Hoi leon,
 
Als het miertje in het midden van het elastiekje begint te lopen is het altijd na een uurtje op het randje.
 
Dat is niet het geval. De mier begint links aan het aan de tafel vastgemaakte uiteinde van het elastiek.

[Michel Uphoff]

Hoi allemaal,
 
Het probleem kan m.i. wel vrij eenvoudig zonder een wiskundige formule benaderd worden. Dat Dopplereffectverhaal van Reinier zit overigens aardig in de buurt. En hij heeft ook gelijk dat het met integraalrekenen niets te maken heeft, het is m.i. een differentiaalvergelijking. (Zó lang geleden is het dat ik deze twee eens heb beheersd dat ik de namen door elkaar kwak.)
 
Gelukkig is er nog de JanBoerenFluitjes methode; Het probleempje ophakken in 10 discrete stapjes:
 
De mier maakt een pas van 10 cm (en doet over die stap zelf 0 seconden). Vervolgens wacht de mier 6 minuten (het elastiek rekt in die tijd 10% op). Dan neemt de mier de tweede stap van 10 cm (het is de zeer zeldzame Zimbabwaanse langpootmier..) en wacht weer 6 minuten tot stap 3, enzovoort.
 
Direct na stap 1 is de afgelegde afstand tov van de tafel 10 cm. In de 6 minuten pauze rekt het elastiek 10% op, dus de afstand van de mier tot de tafel neem ook met 10% toe. De mier is vlak voor stap 2 dus op 11 cm van de tafel.

Direct na stap 2 is de afgelegde afstand tov van de tafel 11+10 cm = 21 cm. In de 6 minuten pauze rekt het elastiek 9% op (10 cm op 110 cm), dus de afstand van de mier tot de tafel neemt met 9% toe, er komt dus 1,91 cm bij zodat de mier op 21 + 2,1 = 22,91 cm afstand is. Enzovoort:
 
0        0,00
10     111,00
20     222,91
30      35,65
40      49,16
50      63,39
60      78,28
70      93,80
80     109,91
90     126,57
100    143,75
110    161,44
120    179,61
130    198,22
140    217,28
150    236,75
160    256,62
170    276,87 (170 gelopen, 276 tafelrand-mier, lengte alastiek 270)

Na 17 stappen en de ingelaste 17 pauzes van 6 minuten (oftewel 102 minuten) is de mier dus op ongeveer 276 cm van de tafelrand. Ik heb een erg grove benadering van 10 stappen gebruikt, en de afgelegde afstand is dus ruwweg.
Als ik  hetzelfde (Excel zij dank..) doe met 100 stapjes, is de uitkomst 272.81 cm.
Neem ik 1000 stapjes dan wordt de afgelegde afstand 271,86 cm, en bij 10.000 stapjes 271,83 cm. De mier heeft dan 1.7183 stapjes van een tiende milimeter gemaakt, en er 1,7183 uur over gedaan.
Dit laatste is gezien het kleine verschil met 1000 stapjes redelijk nauwkeurig.
 
Ik heb deze oplossing ter verificatie voorgelegd aan een wiskundeforum, en hoop dat ze de methode kunnen bevestigen. Ik hoop tevens dat ze de bijbehorende formule kunnen construeren.
 
Ik kom er nog op terug als ik antwoord heb gekregen.

[Paul]

Kun je dat niet als eenvoudig spelletje programmeren?


Volgens mij zijn die spelletjes er wel alhoewel het daar niet rekenkundig wordt bijgehouden met afstanden en snelheid.


Groet,Paul

[Michel Uphoff]

Hoi Paul,
 
>> Kun je dat niet als eenvoudig spelletje programmeren? <<
 
Waarschijnlijk wel, maar daar zie ik het nut niet van in. Het gaat mij om de wiskundige formule die deze complexe verplaatsing correct bepaalt. Inmiddels heb ik van een wiskundefreak de uitkomst van zijn berekening gekregen, en die is hetzelfde als de mijne. Althans zijn antwoord is 1,71827 (en that's all). Maar om onduidelijke redenen wil hij maar niet met de gebruikte formule over de boeg komen. In plaats daarvan probeert hij mijzelf de bijbehorende differentiaalvergelijking te laten ontdekken.
 
Zie dat hier op dit forum al voor mij:
 
Vraag: kan ik mijn harddisk in drie partities onderverdelen, en zo ja hoe?
Antwoord: Ja dat kan. Ga een goed artikel lezen over hoe dat moet en rapporteer dan hier terug hoe je er uitgekomen bent. 
 
Ach.. misschien komt er op dat forum nog een wat klantvriendelijker persoon langs..

[Paul]

Hoi Michel,


Dat dacht ik wel.Als je er niet uitkomt kun je wel kontakt opnemen met een (internationale) puzzelclub waar ik inmiddels geen lid meer van ben: http://cff.helm.lu/NKC.html


Er zijn daar aardig wat wiskundigen en IQ-puzzelkenners die dat probleem vast ook kunnen classificeren.Rik is een heel aardig persoon.


Groet,Paul

[Paul]

Hoi Michel,
En nog vooruitgang geboekt?
Groet,Paul

[Michel Uphoff]

Hoil Paul,
 
Ik weet hoe ik het moet berekenen, en heb de resultaten dus ook. Maar de bijbehorende compacte formule heb ik nog steeds niet gevonden. Hij is ook best wel complex denk ik.
 
Hieronder een grafiek. Parameters:
Mier maakt stapjes van 10 cm per keer
Mier maakt 6 stapjes per uur (loopt dus 1 meter per uur)
Elastiek is 1 meter lang
Elastiek wordt per uur 10 meter uitgerekt
 
Je zou verwachten dat de mier never nooit niet aan de overkant komt omdat het elastiek maar liefst 10 keer zo snel oprekt als de mier loopt. Maar omdat de mier meegenomen wordt door de rek, gaat dat steeds zwaarder meetellen omdat er steeds meer elastiek áchter de mier aan het rekken gaat. (als je in door ruimte zou reizen en - buiten een zwaartekrachtsinvloed om - door zou reizen zou de expansie van de ruimte eenzelfde effect op je hebben). Dus komt de mier er wel degelijk. Alleen kan het héél lang duren. In het begin neemt de afstand mier-einde elastiek alleen maar toe. Maar dat gaat over.
 
Bij de gegeven parameters is de mier na zo'n 12000 stappen aan de overkant.
 

[Paul]

Hoi Michel,


Ben nog bezig me het voor te stellen.....
Die 6 stapjes per uur zal wel zijn,6 minuten per stap.............(dus 10 per uur,10 x 10 = 1 meter per uur)



Groet,Paul

[Paul]

Hoi Michel,


Ik denk dat er geen absolute waarde te bepalen is,dus ook geen duidelijke formule.
Het resultaat is nl afhankelijk van de stapgrootte die je in je voorbeelden al hebt laten zien.Je krijgt dan iets dat naar een limiet gaat, een precies getal krijg je niet.


Paul

[Leon]

Ik weet hoe ik het moet berekenen, en heb de resultaten dus ook. Maar de bijbehorende compacte formule heb ik nog steeds niet gevonden. Hij is ook best wel complex denk ik.

Bij de veronderstelling van wat de uitkomst zal zijn is de berekening gemaakt?
 

Ik heb het op een iets andere manier benaderd en kom ook op iets heel anders uit.

Begin situatie:
Lengte elastiek 1 meter
Oprekking 1 meter per uur.
Loopsnelheid mier 1 meter per uur.

Als de mier begint te lopen wordt ook het elastiek opgerekt en vice versa.
De mier levert zelfstandig de energie om 1 meter per uur te kunnen afleggen.

Ik moet een aanname doen in de begin situatie.
Bij een lengte van 1 meter is de dichtheid 1.
Na het oprekken van 1 naar 2 meter is deze dichtheid gehalveerd.

Het gemiddelde tussen 1 en 0,5 = 0,75

De afgelegde afstand van de mier na 1 uur trekken is.
(Eind lengte – begin lengte.)/gemiddelde dichtheid.

Na exact 3 meter aan elastiek is het miertje op einde.

[Just Vecht]

Goedemorgen,

Met die houtje-touwtje benaderingen komen jullie er niet! En mijn wiskundeknobbel moet weer worden opgepoetst om dit te behappen.

Het begin heb ik wel:

De mier bevindt zich op een (on-)bepaald moment in punt p. De snelheid op dat moment (de momentane snelheid Vm) van dat punt OP het elastiek is afhankelijk van de afstand van punt p tot het vaste punt van het elastiek (punt 0 zeg maar) en de momentane lengte van het hele elastiek Lm).

Lm is de basislengte plus de integraal uit dp.t

Vm = dp/3600(1+dp)

Die mier gaat simpelweg met een meter per uur oftwel Vmier = 1/3600, maar dat is ten opzichte van het stiek. Dus de relatieve snelheid: Vr = 1/3600

De momentane snelheid van de mier in de ruimte is dan de som Vm + Vr

Vmr = dp/3600(1+dp) + 1/3600


De verplaatsing S is het product van snelheid maal tijd. Die snelheid verandert continu, dus we moeten de integraal hebben van Vmr.

S = intVmr.t

t = 3600 --> Uitkomst: 3600 Vmr

En nou stop ik er mee. Want achter me staat een TV vol te blérren met een filmpje "Pinguins in Madagaskar" en ik kan me daarbij echt niet concentreren.

Die troep voor onze jeugd is bepaald niet meer hetzelfde als Pipo de Clown of Swiebertje.

Ik hoop dat jullie eruit komen. Zet hem op!!

waar is het dichtstbijzijnde klooster hier?

[Paul]

Toch nog voor mij even kijken of ik het beeld goed kan krijgen.


Een stilstaande mier ergens en een rekkend elastiek: dan blijft de mier relatief op de zelfde plaats.
De mier kan zo niet relatief achteruitgaan.Omdat die mier vooruit loopt gaat ie altijd relatief vooruit.


In het begin als het elastiek nog niet zo lang is heeft 10 meter per uur (oprekken) een groot effect.
Als het elastiek enorm lang is geworden heeft 10 meter per uur (oprekken) nauwelijks meer effect*.Ofzo....
*Dat verklaart mogelijk ook in de grafiek dat ie op het eind een vrijwel rechte lijn volgt


Paul

[Just Vecht]

In het begin als het elastiek nog niet zo lang is heeft 10 meter per uur (oprekken) een groot effect.
Als het elastiek enorm lang is geworden heeft 10 meter per uur (oprekken) nauwelijks meer effect.Ofzo....

De plek waar de mier is speelt ook een rol. Gelukkig mogen we aannemen dat het elastiek gelijkmatig rekt. Als de mier niet zelf beweegt, blijft hij in het vaste punt en maakt het rekken niks uit. Hij blijft daar.
Zit de mier aan het losse eindpunt, dan verplaatst hij zich met de volle verplaatsing door de rek.

De verplaatsing alleen door de rek neemt dus toe van nul tot maximaal afhankelijk van de afstand van de mier op het elastiek vanaf het vaste punt. Dat is afstandsgebonden. De mier verplaatst zich in de tijd (hij heeft snelheid). Dat is tijdgebonden. De rek is ook tijdgebonden. Ik verwacht daarom een tweedegraadsvergelijking voor de momentane verplaatsing.

Voor de uiteindelijke formule moeten we de continue verandering in verplaatsing sommeren en dan komen we in de hogere wiskunde. Daar haak ik even af. Ik heb dat al lang niet meer gedaan. Dat heb ik wel zo weer beet en ik heb daar ook zin in, maar "nu even niet".

Zet hem op, je kán het

[Paul]

Hoi Just,


Als ik het goed begrijp dan heb jij het over absolute verplaatsing,daar maakt het uit waar de mier zich op het elastiek bevindt.


Voor de relatieve verplaatsing maakt het niet uit,dus wat de mier heeft afgelegd ten opzichte van de totale lengte van het elastiek.Op een heel lang elastiek komt er relatief maar erg weinig bij met 10 meter per uur.Op bv 1 miljoen kilometer is 10 meter te verwaarlozen.Het staat dan relatief vrijwel stil. Volgens mij....(en dan blijft de snelheid van de mier over,rechte stuk grafiek op eind)


Groet,Paul